Euler nació en Basilea (Suiza),Gozaba de una memoria prodigiosa, de una asombrosa capacidad de concentración, de una increíble capacidad de calculo mental y de un portentosa inteligencia para las matemáticas. Euler fue, sobre todo, un trabajador incansable capaz de superar con coraje todas las dificultades y limitaciones físicas.
Escribió mas de 800 libros y trabajos sobre las matemáticas puras y aplicadas, algunos de ellos cuando ya, de edad avanzada, se había quedado completamente ciego.
Entre sus aportaciones a la geometría, se encuentra este bello resultado publicado en 1767:
“el baricentro de un triangulo esta alineado (Recta de Euler) con el ortocentro, y a doble distancia del primero que del segundo”
La naturaleza de algunos de sus mas sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo:
Pero ¿Como no se me ocurrió?
LA RECTA DE EULER DE UN TRIANGULO.
CON CABRI GEOMETRI II PLUS.
Como se sabe, las tres alturas, las tres medianas y las tres mediatrices son respectivamente concurrentes, y estos puntos de concurrencia están alineados sobre una recta, llamada recta de Euler del triangulo.
PROCEDIMIENTO.
1.- Construir un triangulo con la ayuda de la herramienta [ líneas] Triangulo activa, es suficiente crear tres puntos nuevos dentro de la ventana, haciendo clic en zonas vacías. Podemos nombrar cada vértice del triangulo con la herramienta activa [texto y símbolos nombrar] Nombrar, simplemente introduciendo su nombre por el teclado. Ver Fig. 1
2.- Construcción de la mediana.- los puntos medios se construyen gracias a ala herramienta [construcciones]Punto Medio, para construir el punto medio de AB, seleccionamos sucesivamente A y B, o puede ser construido haciendo clic directamente sobre el segmento. El nuevo punto debe ser nombrado como C`. procedemos de la misma forma para los otros dos lados construyendo las medianas con la ayuda de la herramienta [Líneas] Recta, y su color será cambiado con la herramienta [Atributos] Color. La herramienta [manipulacion]Apuntador nos permite desplazar a nuestro gusto los objetos libres de la figura, en este caso los tres puntos A, B y C.
Despues de haber activado [Puntos]Puntos de intersección, aproximamos el apuntador al punto de intersección de las tres medianas. En este momento Cabrii Geometre, busca crear el punto de intersección de dos rectas, seleccionando una por una hasta completar las tres. Llamemos G el punto de intersección de las medianas. Ver figura 2 y 3.
3.- Las alturas se construyen con la herramienta [construcciones]Recta perpendicular. Esta herramienta crea la unica recta perpendicular a una direccion dada, que pasa por un pùnto determinado. Requiere la selección de un punto y de una recta,de un segmento, o de una semirrecta. Para construir la altura desde A, seleccionamos A, y el lado BC. Lo mismo para las alturas desde B y C. de la misma forma que para las medianas, elegimos un color para las alturas, y construimos su punto de interseccion H. Ver figura 4.
4.- La herramienta [construcciones] Mediatriz permite construir la mediatriz de un segmento. Es suficiente seleccionar el segmento o sus extremos. Denotamos por O el punto de interseccion de las tres mediatrices. Ver figura 5.
5.- La herramienta [Propiedades]Alineados? Nos da la posibilidad de verificar si los tres puntos O,H y G están alineados.
Seleccionamos sucesivamente esos puntos, luego designamos un lugar sobre la hoja para depositar el resultado. El resultado es un texto que indica si los puntos están o no alineados.
Con la herramienta [Lineas]Rectas, construimos la RECTA DE EULER del triangulo que pasa por los tres puntos O, H y G. la herramienta [Atributos]Espesor se utiliza para modificar el aspecto de esta recta. Ver figura 6.
6.-Verifiquemos midiendo las longitudes GO y GH. Activemos la herramienta [Medida] Distancia o longitud. Esta herramienta permite medir la distancia entre dos puntos, o la longitud de un segmento, según los objetos seleccionados. Seleccionemos entonces G luego O; la distancia GO aparece, medida en cm. Se hace lo mismo para GH. Una vez efectuada la medida, se puede editar el texto correspondiente, por ejemplo añadiendo los caracteres “GO=” delante del numero. Activemos la herramienta [Medida]Calculadora, seleccionamos pues la distancia GH, luego el operador / (la barra de division), y la distancia GO. Hacemos clicsobre el boton = para obtener el resultado, de la razon GH/GO, que se puede depositar sobre la hoja.
Ejercicio 1 Completar la figura construyendo el circulo circunscrito al triangulo, (Centrado en O y que pasa por A, B y C) se utilizará la herramienta [Curvas]Circulo.
Ejercicio 2 Construir a continuación el circulo de los nueve puntos del triangulo. Se trata del circulo centrado en el punto medio de OH, y que pasa por los puntos medios A`, B`Y C`de los lados, los pies de la altura, y los puntos medios de los segmentos HA, HB Y HC.
ENVIAR EL ARCHIVO AL CORREO: acd36345@gmail.com, renombrado con la primera letra inicial de su nombre, seguido del apellido paterno - guion bajo y la palabra euler, ejemplo: rrodriguez_euler
